高一数学考点总结之函数对称性

时间:2018-06-13 16:17:24 来源: 阅读:(

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摘要:2018高考已经结束,对于广大的高三学子来说,终于可以松一口气了。而对于目前高一的同学们来说,也意味着不久后也要迎来期末考试了。经过一年的高中学习,不知道大家对知识的掌握如何呢?针对高一数学的学习,小编也为大家进行了梳理,特意分享这份高一数学知识点给大家,同学们在期末复习时可以用以参考,将知识进行归纳总结,都是容易出现的高一数学考点,相信会对大家有一些帮助。下面先分享函数的对称性的知识点总结:

  2018高考已经结束,对于广大的高三学子来说,终于可以松一口气了。而对于目前高一的同学们来说,也意味着不久后也要迎来期末考试了。经过一年的高中学习,不知道大家对知识的掌握如何呢?针对高一数学的学习,小编也为大家进行了梳理,特意分享这份高一数学知识点给大家,同学们在期末复习时可以用以参考,将知识进行归纳总结,都是容易出现的高一数学考点,相信会对大家有一些帮助。下面先分享函数的对称性的知识点总结:

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  一、 函数自身的对称性探究

  定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

  f (x) + f (2a-x) = 2b

  证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x)

  即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。

  (充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)

  ∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。

  故点P'(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P'关于点A (a ,b)对称,充分性得征。

  推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0

  定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

  f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)

  推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)

  定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

  ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

  ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。

  ①②的证明留给读者,以下给出③的证明:

  ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,

  ∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:

  f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

  又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,

  ∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:

  f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得

  f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:

  f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。

  二、 不同函数对称性的探究

  定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

  定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

  ②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

  ③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。

  定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③

  设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P'(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P'(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。

  同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

  推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

  三、 三角函数图像的对称性列表

函 数 对称中心坐标 对称轴方程
y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2
y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ
y = tan x (kπ/2 ,0 )

  注:①上表中k∈Z

  ②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 ),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 ),这明显是错的。

  四、 函数对称性应用举例

  例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第十二届希望杯高二 第二试题)

  (A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数

  (C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数

  解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).

  ∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。

  故选(A)

  例2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。

  (A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。

  解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,

  ∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

  故f(4) = 2001,应选(C)

  例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,

  f (x) = - x,则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二 第一试题)

  解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;

  又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

  例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( )(92全国高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =

  解:函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k +

  ∴x = - ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选(A)

  例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,

  f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )

  (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

  解:∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;

  又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。

  ∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)

  以上为大家分享的是函数的对称性的总结,大家可以仔细学习下,为期末考试做准备。后续小编也会继续为大家分享更多高一数学知识点的总结,大家可以访问文都中小学高考网学习。

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